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[X-ray] X-ray 기초_4. X-ray 측정 및 이미징 (X-ray imaging, attenuation, beer-lambert law, intensity) 본문
[X-ray] X-ray 기초_4. X-ray 측정 및 이미징 (X-ray imaging, attenuation, beer-lambert law, intensity)
minjoony 2021. 11. 22. 20:31이번 게시글에서는 지난 게시글에서 살펴본 작용으로 감쇠된 X-ray의 strength(=intensity)를 측정하는 방식에 대하여 알아보고, 이를 이용하여 어떻게 imaging을 할 수 있는지 살펴보겠습니다.
X-ray imaging
지난게시글을 간단히 정리해보면,
X-ray는 물체와 부딪히면, 일부는 흡수(absortion)되고, 일부는 산란(scattering)됩니다.
중요한 것은 이 때! 에너지가 줄어든다(attenuation)는 것인데요!
X-ray가 부딪히는 물질에 따라 물질에 따라 attenuation정도가 다르다는 특징을 이용하여 imaging을 하게 됩니다.
Imaging과정과 메커니즘은 다음과 같습니다.
1. X-ray source에서 X-ray를 발생시키고,
2. 발생한 X-ray가 물체를 지나면서 감쇠하는데,
3. 물체를 이루는 각 물질에 따라 감쇠하는 정도가 다르므로 (즉, 통과하고 남은 X-ray의 strength가 다르므로)
4. Receptor(혹은 detector)에 닿게되는 X-ray strength를 측정하면 물질을 구분할 수 있다!

즉, receptor가 X-ray beam의 strength를 측정하여 imaging하는데
X-ray beam의 strength는 각 tissue에서의 attenuation정도에 따라 달라지므로 contrast가 발생하고
이를 imaging한 것이, 저희가 알고있는 X-ray image를 촬영하는 원리입니다.
X-ray intensity 측정
위에서 X-ray imaging을 하기 위해서는 X-ray beam의 strength를 측정해야 한다고 하였습니다.
X-ray beam의 strength를 intensity라고 합니다.
우선은, 물체에 의하여 감쇠(attenuation)가 되지 않은 경우.
즉, 허공에 X-ray를 쏘고 이를 receptor로 측정하는 경우에 대하여 먼저 살펴보겠습니다.
먼저, intensity는 receptor의 도달하는 X-ray photon의 개수(N)에 비례할 것입니다.
따라서 우선 photon fluence(Φ)에 대한 수식을 먼저 세운다면 다음과 같습니다.
Φ=N
하지만 위의 수식은 얼만큼의 면적에 대한 photon의 개수인지를 나타내지 못하므로,
단위면적에서의 값을 측정하기 위하여 다음과 같이 unit area(A)로 나눠줍니다.
Φ=NA
추가로 x-ray beam의 측정시간이 Δt일 경우에 단위시간당 intensity를 측정하고자 측정시간으로 나눠줍니다.
Φ=NAΔt
자, 이렇게 위의 수식은 X-ray photon의 단위면적, 단위시간에서의 양을 나타내게 되었습니다.
이 값에 photon 1개당 가지고 있는 energy(E)를 곱해주면,
저희가 구하고자 하는 intensity(I)를 다음과 같이 구할 수 있습니다.
I=EΦ=ENAΔt

위 그래프는 이전에 bremsstrahlung X-ray, characteristic X-ray를 살펴볼 때 보았던 그래프입니다.
y축이 photon의 개수를 의미하고, x축이 각 photon의 unit energy를 의미합니다.
따라서 위 그래프를 S(E)라고 한다면, 총 photon fluence rate은 다음과 같이 S(E)의 적분으로 나타낼 수 있습니다.
Φ=∫∞0S(E),dE
마찬가지로, intensity는 photon fluence rate에 각 photon의 energy를 곱한값의 적분으로 나타낼 수 있습니다.
I=∫∞0E∗S(E),dE
자, 여기까지 저희는 허공에 X-ray beam을 쏘고,
receptor를 통해 X-ray beam의 intensity를 측정하는 과정을 보았습니다.
이제는 물체가 있을 때의 상황을 살펴보겠습니다.
아래 그림과 같이 Δx의 두께(thickness)를 갖는 물체가 있고,
X-ray beam이 X-ray source로부터 직선으로 와서 receptor에 직선으로 꽂힌다고 가정해봅시다.

이 때, X-ray source로부터 나온 X-ray photon의 개수가 N개,
물체를 지나면서 감소되어 receptor에 닿은 X-ray photon의 개수를 N′이라고 한다면
물체에 의해서 잃은 photon의 개수(n)는 다음과 같이 N과 물체의 두께에 비례할 것입니다.
(Source로부터 나온 photon이 많을수록 잃게되는 photon도 많아지고, 물체가 두꺼울수록 잃는 photon이 많아지기 때문이죠)
n=N−N′=μNΔx
여기에서 μ는 linear attenuation coeeficient라고 하며,
앞서 물체마다 photon의 양을 감소시키는 정도가 다르다고 하였는데 그것을 지칭하는 물질 dependent한 상수입니다.
아래와 같이 식을 다시 써보면, 물체의 단위길이(unit length)에 대한 photon의 감쇠정도를 나타내는 것을 알 수 있습니다.
μ=n/NΔx
다시, 본론으로 돌아와서, photon의 개수에 대한 변화량(ΔN)은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
ΔN=N′−N=−n=−μNΔx
위 식을 N에 대하여 미분하면 다음과 같습니다.
dNN=−μΔxdx
이 미분방정식을 풀면, 아래와 같이 수식을 이끌어낼 수 있고, 이를 fundamental photon attenuation law라고 합니다.
(N = thickness가 0일 때의 photon 개수. 즉, 물체가 없는 경우의 photon 개수이자 source에서 나온 photon 개수)
N′=Ne−μΔx
마찬가지로 intensity에 대한 수식도 다음과 같이 나타낼 수 있으며,
이 식은 Beer-Lambert law라고도 불립니다.
I′=Ie−μΔx
만약, 물체의 부위마다 다른 물질로 이루어져 있다면 (= inhomogeneous)
각 부위마다 μ가 다를테고, 이를 μ(x)로 나타낼 수 있습니다.
따라서 물체를 이루는 물질이 다른 경우는 다음과 같이 수식이 변하게 됩니다.
N(x)=N0e−∫x0μ(x′),dx′
I(x)=I0e−∫x0μ(x′),dx′
이제 마지막으로, X-ray photon마다 다양한 energy를 가진다고 하였고, 위의 그래프(S(E))로 나타냈었습니다.
각 photon의 energy를 반영하면 다음과 같이 최종적으로 수식을 나타낼 수 있습니다.
S(x;E)=S0(E)e−∫x0μ(x′;E),dx′
I(x)=∫∞0S0(E′)E′e−∫x0μ(x′;E),dx′dE′
(intensity는 photon number∗photon energy 이므로 수식에 E′가 곱해졌음에 유의합니다.)
References
Jerry L. Prince, Jonathan M.Links 『Medical imaging signals and systems』, Pearson (2006)