[X-ray] X-ray 기초_4. X-ray 측정 및 이미징 (X-ray imaging, attenuation, beer-lambert law, intensity)

이번 게시글에서는 지난 게시글에서 살펴본 작용으로 감쇠된 X-ray의 strength(=intensity)를 측정하는 방식에 대하여 알아보고, 이를 이용하여 어떻게 imaging을 할 수 있는지 살펴보겠습니다.

X-ray imaging

지난게시글을 간단히 정리해보면, 

X-ray는 물체와 부딪히면, 일부는 흡수(absortion)되고, 일부는 산란(scattering)됩니다.

중요한 것은 이 때! 에너지가 줄어든다(attenuation)는 것인데요!

 

X-ray가 부딪히는 물질에 따라 물질에 따라 attenuation정도가 다르다는 특징을 이용하여 imaging을 하게 됩니다.

 

Imaging과정과 메커니즘은 다음과 같습니다.

 

1. X-ray source에서 X-ray를 발생시키고,

2. 발생한 X-ray가 물체를 지나면서 감쇠하는데,

3. 물체를 이루는 각 물질에 따라 감쇠하는 정도가 다르므로 (즉, 통과하고 남은 X-ray의 strength가 다르므로)

4. Receptor(혹은 detector)에 닿게되는 X-ray strength를 측정하면 물질을 구분할 수 있다!

즉, receptor가 X-ray beam의 strength를 측정하여 imaging하는데

X-ray beam의 strength는 각 tissue에서의 attenuation정도에 따라 달라지므로 contrast가 발생하고

이를 imaging한 것이, 저희가 알고있는 X-ray image를 촬영하는 원리입니다.

 

X-ray intensity 측정

위에서 X-ray imaging을 하기 위해서는 X-ray beam의 strength를 측정해야 한다고 하였습니다.

X-ray beam의 strength를 intensity라고 합니다.

우선은, 물체에 의하여 감쇠(attenuation)가 되지 않은 경우.

즉, 허공에 X-ray를 쏘고 이를 receptor로 측정하는 경우에 대하여 먼저 살펴보겠습니다.

 

먼저, intensity는 receptor의 도달하는 X-ray photon의 개수($N$)에 비례할 것입니다.

따라서 우선 photon fluence($\Phi$)에 대한 수식을 먼저 세운다면 다음과 같습니다.

 

$ \Phi = {N} $

 

하지만 위의 수식은 얼만큼의 면적에 대한 photon의 개수인지를 나타내지 못하므로,

단위면적에서의 값을 측정하기 위하여 다음과 같이 unit area($A$)로 나눠줍니다.

 

$ \Phi = \frac{N}{A} $

 

추가로 x-ray beam의 측정시간이 $ \Delta t $일 경우에 단위시간당 intensity를 측정하고자 측정시간으로 나눠줍니다.

 

$ \Phi = \frac{N}{A\Delta t} $

 

자, 이렇게 위의 수식은 X-ray photon의 단위면적, 단위시간에서의 양을 나타내게 되었습니다.

이 값에 photon 1개당 가지고 있는 energy($E$)를 곱해주면,

저희가 구하고자 하는 intensity($I$)를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

 

$ I = E \Phi = \frac{EN}{A\Delta t} $

위 그래프는 이전에 bremsstrahlung X-ray, characteristic X-ray를 살펴볼 때 보았던 그래프입니다.

y축이 photon의 개수를 의미하고, x축이 각 photon의 unit energy를 의미합니다.

따라서 위 그래프를 $S(E)$라고 한다면, 총 photon fluence rate은 다음과 같이 $S(E)$의 적분으로 나타낼 수 있습니다.

 

$ \Phi = \int_{0}^{\infty} S(E), dE $

 

마찬가지로, intensity는 photon fluence rate에 각 photon의 energy를 곱한값의 적분으로 나타낼 수 있습니다.

 

$ I = \int_{0}^{\infty} E*S(E), dE $

 

 

자, 여기까지 저희는 허공에 X-ray beam을 쏘고,

receptor를 통해 X-ray beam의 intensity를 측정하는 과정을 보았습니다.

이제는 물체가 있을 때의 상황을 살펴보겠습니다.

 

아래 그림과 같이 $\Delta x$의 두께(thickness)를 갖는 물체가 있고,

X-ray beam이 X-ray source로부터 직선으로 와서 receptor에 직선으로 꽂힌다고 가정해봅시다.

이 때, X-ray source로부터 나온 X-ray photon의 개수가 $N$개,

물체를 지나면서 감소되어 receptor에 닿은 X-ray photon의 개수를 $N'$이라고 한다면

물체에 의해서 잃은 photon의 개수($n$)는 다음과 같이 $N$과 물체의 두께에 비례할 것입니다.

(Source로부터 나온 photon이 많을수록 잃게되는 photon도 많아지고, 물체가 두꺼울수록 잃는 photon이 많아지기 때문이죠)

 

$ n = N - N' = \mu N \Delta x $

 

여기에서 $\mu$는 linear attenuation coeeficient라고 하며,

앞서 물체마다 photon의 양을 감소시키는 정도가 다르다고 하였는데 그것을 지칭하는 물질 dependent한 상수입니다.

아래와 같이 식을 다시 써보면, 물체의 단위길이(unit length)에 대한 photon의 감쇠정도를 나타내는 것을 알 수 있습니다.

 

$ \mu = \frac {n/N} {\Delta x} $

 

다시, 본론으로 돌아와서, photon의 개수에 대한 변화량($\Delta N$)은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$ \Delta N = N' - N = -n = -\mu N \Delta x $

 

위 식을 $N$에 대하여 미분하면 다음과 같습니다.

 

$ \frac {dN} {N} = -\mu \Delta x dx $

 

이 미분방정식을 풀면, 아래와 같이 수식을 이끌어낼 수 있고, 이를 fundamental photon attenuation law라고 합니다.

($N$ = thickness가 0일 때의 photon 개수. 즉, 물체가 없는 경우의 photon 개수이자 source에서 나온 photon 개수)

 

$ N' = N e^{-\mu \Delta x} $

 

마찬가지로 intensity에 대한 수식도 다음과 같이 나타낼 수 있으며,

이 식은 Beer-Lambert law라고도 불립니다.

 

$ I' = I e^{-\mu \Delta x} $

 

 

만약, 물체의 부위마다 다른 물질로 이루어져 있다면 (= inhomogeneous)

각 부위마다 $\mu$가 다를테고, 이를 $\mu(x)$로 나타낼 수 있습니다.

따라서 물체를 이루는 물질이 다른 경우는 다음과 같이 수식이 변하게 됩니다.

 

$ N(x) = N_0 e^{-\int_{0}^{x} \mu(x'), dx'} $

$ I(x) = I_0 e^{-\int_{0}^{x} \mu(x'), dx'} $

 

이제 마지막으로, X-ray photon마다 다양한 energy를 가진다고 하였고, 위의 그래프($S(E)$)로 나타냈었습니다.

각 photon의 energy를 반영하면 다음과 같이 최종적으로 수식을 나타낼 수 있습니다.

 

$ S(x; E) = S_0(E) e^{-\int_{0}^{x} \mu(x'; E), dx'} $

$ I(x) = \int_{0}^{\infty} S_0(E')E' e^{-\int_{0}^{x} \mu(x'; E), dx'} dE' $

 

(intensity는 $photon$ $number * photon$ $energy$ 이므로 수식에 $E'$가 곱해졌음에 유의합니다.)

 

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References

Jerry L. Prince, Jonathan M.Links 『Medical imaging signals and systems』, Pearson (2006)

https://radiologykey.com/effects-of-radiation/

https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/refer-x-ray-emission-spectrum-graph-previous-question-relative-number-photons-intensity-gr-q38892217